Задачі з загальної топології

Задача 1.

Нехай \(\sigma = \{ X \setminus U \mid U \in \tau \}\) - сукупність всіх замкнутих множин топологічного простору \((X,\tau)\).
Довести, що

• \(\varnothing, X\) є замкнутими множинами;
• якщо \(A\) та \(B\) - замкнуті, то \(A \cup B\) також замкнута;
• для довільної сім'ї замкнутих множин \(\{ A_j\}_{j\in J}\) її перетин \(\mathop{\cap}\limits_{i\in J} A_j\) також замкнута множина.

Задача 2.

Нехай \(\sigma = \{ A_i \}_{i\in\Lambda}\) - сім'я підмножин множини \(X\), що задовольняє умови:

• \(\varnothing, X \in \sigma\),
• якщо \(A,B\in\sigma\), то \(A \cup B \in \sigma\),
• для довільної сім'ї \(\{ A_j\}_{j\in J} \subset \sigma\) її перетин \(\mathop{\cap}\limits_{i\in J} A_j \in \sigma\).
  

Довести, що тоді сукупність \[ \tau = \{ X \setminus A \mid A \in \sigma\}\] є топологією на \(X\), в якій \(\sigma\) є сукупністю всіх замкнутих множин.

Задача 3.

• \(U \setminus F\) - відкрита,
• \(F \setminus U\) - замкнута.