Задача 1

Нехай \(\sigma = \{ X \setminus U \mid U \in \tau \}\) - сукупність всіх замкнутих множин топологічного простору \((X,\tau)\). Довести, що

• \(\varnothing, X\) є замкнутими множинами;
• якщо \(A\) та \(B\) - замкнуті, то їх об'єднання \(A \cup B\) також замкнуте;
• для довільної сім'ї замкнутих множин \(\{ A_j\}_{j\in J}\) її перетин \(\mathop{\cap}\limits_{i\in J} A_j\) також замкнута множина.