Фізика графену та діраківських матеріалів

Topic outline

• General
  • 

    Новини Forum

• Загальна програма курсу та рекомендована література

  ЗАДАЧІ
  

  Студенти, які вивчають курс, мають самостійно розв'язати та здати задачі, які наведені у розділах 2.5 та 3.7 по підручнику [1].  Задача 3 до розділу 2.5 стала навіть науковою публікацією студентів (http://www.icmp.lviv.ua/journal/zbirnyk.92/43705/abstract.html).
  

  
  

  Додаткові задачі

  
  

  Під час занять студенти додатково готують та презентують розв'язки задач по підручнику Л.С. Левитов, А.В. Шитов, Функции Грина.  Задачи с решениями, 2е изд.  ФИЗМАТЛИТ, 2002.

  
  

  Восени 2024 ми розглянули такі задачі 24, 38,
  

  
  

  
  

  У 2021 році були вже розглянуті наступні задачі  24, 37, 44,  40, доведення теореми Hohenberg за допомогою нерівності Боголюбова,  72, 62а.
  

  
  

  З минулого 2020 року.
  

  Далі  пропоную   38 (але там на початку неточності), 50 б.

  Також я пропоную додаткові задачі по темі "Електромагнітний відгук".

  Для опанування темою пропоную проробити також задачу 51. Для задачі 51 можна пропустити усереднення по домішкам, а все робити так, як у Розділі 7 підручнику Атланда.

  
  

  
  

  РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА

  Основна:

  1.   Е. В. Горбар, С. Г. Шарапов, Основи фізики графену,  Київ, 2013.  (Викладено на EduPortal.)
  

  2.  Alexander Altland and Ben Simons, Condensed Matter Field Theory, Cambridge University Press, 2006 (2nd edition 2010).

  3. G. Giuliani and G. Vignale, Quantum theory of the electron liquid, Cambridge    University Press, 2005.
  

  4. Piers Coleman,  Many Body Physics, 2013    http://www.physics.rutgers.edu/~coleman/mbody.html 
  

  5. H. Bruss and K. Flensberg,  Many-Body Quantum Theory in Condensed Matter Physics: An Introduction, Oxford University Press, 2004.
  

  6. М.В. Садовский,  Диаграмматика, М.-Ижевск, Институт компьютерных  исследований, 2004
  

  7. А.А. Абрикосов, Основы теории металлов, 2е изд. ФИЗМАТЛИТ, 2009.
  

  8. M.O. Goerbig, Quantum Hall Effects, Preprint arXiv:0909.1998

  9. D.J. Scalapino, S.R. White, and S. Zhang, Insulator, metal, or superconductor: The criteria, Phys. Rev. B 47, 7995 (1993). (Пояснення до статті викладено на EduPortal.)
  

  10. L. Benfatto and S.G. Sharapov, Optical-conductivity sum rule in cuprates and
  unconventional charge density waves: a short review,
  Физ. Низк. Темп. (ФНТ) 32, 700 (2006). (Викладено на EduPortal.)

  11. И.А. Квасников, Термодинамика и статистическая физика. Т.2: Теория равновесных систем: Статистическая физика. М. 2005.
  

  Додаткова:

  1.  Alexei M. Tsvelik, Quantum Field Theory in Condensed Matter Physics,
      Cambridge University Press, 2003.  (Картинки взяті звідси.)
     

  
  

  РЕСУРСИ

  
  

  Files: 10 URLs: 2

• Тема 1

  

  Картинка з цікавої книги Цвеліка.
  

  Функції відгуку у фізиці конденсованого стану. 

  
  

  1. Основні експериментальні методи дослідження конденсованих середовищ.
  

  Три класи експериментальних методів: термодинамічні експерименти, транспортні експерименти, спектроскопічні експерименти.  Сканувальна тунельна спектроскопія. (Chapter 7.1 of [2]. )
  

  2. Теорія лінійного відгуку I, загальні принципи. 
  

  (Chapter 7.2 of [2]. )

  (a) Основні поняття: причинність, наслідки незалежності від часу гамільтоніану системи, лінійність, відгук трансляційно інваріантних систем.
  

  (b) Мікроскопічна теорія відгуку. Загальний вираз кореляційної функції. Розгляд за допомогою функціонального інтегрування.
  

  3. Теорія лінійного відгуку II. Загальна теорія.
  

  (Chapter 3.2 of [3]. )

  
  

  (a)  Функції відгуку. Операторний формалізм. (Chapter 3.2.1 of [3]. )

  (b) Періодичне збурення. (Chapter 3.2.2 of [3]. )

  (c) Спектральне представлення Лемана для запізнювальної функції відгуку.  (Chapter 3.2.3 of [3]. )
  

  (d) Симетрія та співвідношення взаємності для функції відгуку. (Chapter 3.2.4 of [3]. )
  

  (e) Походження дисипації.  (Chapter 3.2.5 of [3]. )
  

  (f) Залежні від часу кореляції та флуктуативно-дисипативна теорема. (Chapter 3.2.6 of [3]. )
  

  (g) Аналітичні властивості (співвідношення Крамерса-Кроніга) та колективні моди. 
  (Chapter 3.2.7 of [3]. )
  

  (h) Правила сум. (Chapter 3.2.8 of [3].) Спектральна функція асоційована з одночастинковою функцією Гріна та правило сум для неї. (Розділ 7.3.1  з [2].)
  

  (i) Теорема про жорсткість (stiffness teorem) (без доведення). 
  (Chapter 3.2.9 of [3]. )

  (j) Нерівність Боголюбова. 

  (Chapter 3.2.10 of [3]. )

  
  

  (k) Функція відгуку густина-густина та правило сум для неї.  
  (Chapter 3.3.1 and 3.3.3 of [3]. )
  
  4. Конкретні приклади обчислення функцій лінійного відгуку.
  
  (a) Спектральне представлення температурної функції Гріна та зв'язок між
  нею та запізнюючою і випереджаючою функціями Гріна. Теорема про  аналітичне продовження. 
  (Розв'язання задачі 40а з задачника Левітова, 
  див. також початок Розділу 7.3  з [2].)
  
  (b) Функції відгуку для густини, спінової густини, струму та теплового 
  струму. Приклад обрахування функції спінового відгуку. (Розділ 10.5 
  [4].) Спектроскопія.   (Розділ  10.6 [4].)  

  (c) Тунельна спектроскопія.  (Розділ 8.4.1  [5] або Розділ 10.7.2  [4].)

  
  
  

• Тема 2

  Електромагнітний відгук.

  (Розділ 7 of [2].  Розділ 3.4 [3].)
  

  1.  Визначення ядра електромагнітного відгуку та його основні властивості пов'язані зі збереженням струму та калібрувальною симетрією. (Розділ 7.4 of [2]. )
     

  2.  Загальний вираз для електромагнітного відгуку. Діамагнітний та парамагнітний члени. (Розділ 7.4 of [2]. )
     

  3.  Електромагнітний відгук у випадку системи на гратці. (Конспект.)
     

  4.  Зв'язок між електричною провідністю та ядром електромагнітного відгуку. 

     (Розділ 7.4 of [2] та конспект.)

  5. Електромагнітний відгук надпровідника. Нагадування про теорію братів Лондонів. (Конспект.)
     

  6. Розбиття ядра електромагнітного відгуку на повздовжню та поперечну частини. Наслідки калібровочної інваріантності. Правило сум для оптичної провідності. (Розділ 3.4.1 та 3.4.2 [3].)
     

  7. Орбітальна магнітна сприятливість.

     (Розділ 3.4.3  [3].)

  8. Ізолятор, провідник чи метал?
     

     (Робота [9] та конспект.)

  9.  Поздовжня провідність електронного газу. (Одержання піку Друде методом функцій Гріна.)

     (Розділ 7.4.1 of [2] та конспект.)

     
     

  
  

• Тема 3

  
  

  
  

  Вступ до фізики графену.

  1. Приклади двовимірних електронних систем: польові транзистори,

  напівпровідникові гетероструктури, графен. (Розділ 1.2 [8].)

  
  

  2. Модель сильного зв'язку на квадратній гратці. Анзац Пайерлса.

  
  

  3. Графен. Модель сильного зв'язку на гексагональній гратці.

  (a) Гамільтоніан графена. Анзац Пайерлса. Оператор струму та діамагнітний тензор.
  (b) Гамільтоніан графена у матричній (спінорній) формі. Енергетичний спектр графена.
  

  (c) Керування кількістю та типом носіїв у графені. Хімічний потенціал.

  (d) Енергія Зеємана у графені.

  (e) K-точки. Енергетичний спектр графена поблизу них.
  
  

  4.  Опис графену за допомогою квантової електродинаміки в 2+1 вимірі у континуальному наближенні.

  
  

  (a) Розклад гамільтоніана графену поблизу K-точок. Перехід від інтегрування по зоні Бріллюена до інтегрування по діраківським конусам.
  

  (b) Модель графена у діраківських позначеннях.
  (c) Взаємодія діраківських ферміонів у графені з електромагнітним полем.
  (d) Кулонівська взаємодія в графені.
  (e) Діраківська маса та її фізичний зміст у графені.
  (f) Кіральність та спіральність в діраківській теорії та їх зміст у випадку графена.
  (g) Операція обернення часу та її особливості у  графені.
  

  
  

  5.  Правило сум для оптичної провідності в графені. (Додаткова тема.)
  

  
  

  6. Фонони та флуктуації. Руйнування двовимірних та одновимірних кристалів тепловими флуктуаціями. (Розділ 3.6 [5] або Левитов,  Шитов задача [38].) Існування графену.

  
  

  7. Парадокс Клейна в графені. (Додаткова тема.)

  
  

• Тема 4

  Рівні Ландау. Графен у зовнішньому магнітному полі.

  1. Квантування рівнів енергії вільного електрону у магнітному полі (3D параболічний закон дисперсії квазічастинок). (Розділ 10.2 [6].)

  2. Одержання рівнів Ландау у нерелятивістській та релятивістській задачах у 2+1-вимірі
  за допомогою сходинкових операторів народження і знищення. (Розділ 2.3 [8]).
  

  3.  Теорема Бора - ван Левен. ([11] с.270 )
  

  4. Діамагнетизм Ландау (3D параболічний закон дисперсії квазічастинок). (Розділ 10.3 [6].)
  

  5.  Різниця між діраківськими гамільтоніанами двох незалежних K-точок.
  Діраківські рівні Ландау у присутності щілини у спектрі. (Розв'язок диференційного рівняння, додаток [1].)
  
  6. Діамагнетизм Ландау та електромагнітний відгук. (Розділ 5.5 [6], див. також задачу 62 б з Левітова.)
  
  
  
  

• Тема 5

  Ефект де Гааза - ван Альфена.
  

  (Розділ 10 [7].)
  
  1. Квазікласичне квантування енергетичних рівнів для вільного спектру. Умова Онзагера.  (Розділ 10.4 [7].) Рівні Ландау у графені.
  
  2. Ефект де Гааза - ван Альфена. (Розділ 10.5 [7].)
  

  (a) Одержання виразу для осцилюючої частини термодинамічного потенціалу.
  

  (b) Вираз для осцилюючої частини намагніченості та його порівняння з неосцилюючою частиною.
  

  (c) Аналіз формули Ліфшиця-Косевича. Приклад 3D електронного газу. Роль фази осциляцій. Намагніченість при високих температурах.
  

  (d) Роль розсіяння на домішках. Фактор Дінгла та температура Дінгла.
  

  (e)  Умови спостереження магнітних осциляцій у металах, напівметалах та графені.