Topic outline

  • Вступ до теорії сильно корельованих систем

    Метою навчальної дисципліни «Вступ до теорії сильно корельованих систем» є засвоєння студентами основи сучасних теоретичних підходів до опису колективних явищ у системах багатьох взаємодіючих частинок, що включає в себе уявлення про роль електрон-електронної взаємодії у формуванні фізичних властивостей систем з вузькими енергетичними зонами та зв’язок електронної структури сильно корельованих систем (СКС) з ефектами локалізації та делокалізації носіїв заряду та спіну. Розглядаються рівноважні властивості СКС та причини і закономірності фазових перетворень у них, сучасні теоретичні методи дослідження електронної структури та електронних властивостей функціональних матеріалів на основі СКС. Курс сприяє кращому розумінню останніх досягнень в сфері прикладної фізики та наноматеріалів, зокрема, квантових матеріалів і технологій, а також формуванню наукового світогляду, логічного і аналітичного мислення майбутніх науковців і викладачів у галузі фізики.


  • Модуль 1

    Тема 1. Класифікація систем з сильними електронними кореляціями (СЕК) та природа самих СЕК. Колективізований магнетизм (модель та критерій Стонера, модель Морія). Локалізований магнетизм (модель Гейзенберга). Дуальна квантова природа магнітних станів у металі (критерій Роудса-Вольфарта, у чому складність опису СЕК).

    Тема 2. Основа одноелектронних наближень. Адіабатичне наближення. Наближення ефективного поля, методи Хартрі та Хартрі-Фока.

    Тема 3. Електрони в періодичному потенціалі. Теорема Блоха. Періодична, розширена та зведена зонні схеми. Врахування скінченого розміру кристалу (періодичні граничні умови Борна-Кармана). Квазіхвильовий вектор та об’єм оберненого простору, що припадає на один стан, який описується цим вектором. Зона Бріллюена та загальна кількість різних станів електрона в кристалі. Вироджені стани. Хімічний потенціал, енергія Фермі, поверхня Фермі. Групова швидкість електрона в кристалі за Т=0К.

    Тема 4. Густина електронних станів та середні значення спостережуваних фізичних величин. Особливості Ван Хова (їх природа та типи). Загальна схема розрахунку електронної структури. Наближення вільних та майже вільних електронів (теорія збурень за малим потенціалом розсіяння, розщеплення зон, як дифракційний ефект).

    Тема 5. Наближення сильного зв’язку, утворення енергетичних зон при зближенні атомів, ефективна маса, як спосіб опису поведінки у зовнішньому полі електронів, що мають «спотворений» взаємодією з ґраткою закон дисперсії, зв’язок ширини зони з величиною ефективної маси, дірки. Метод лінійної комбінації атомних орбіталей (ЛКАО). Метод комірок.

    Тема 6. Метод ортагоналізованих плоских хвиль (ОПХ). Метод псевдопотенціалу та причини його успіху. Метод приєднаних плоских хвиль (ППХ).


  • Модуль 2

    Тема 7. Вільний електронний газ Фермі та повна енергія кристалу у цій моделі. Метод функцій Гріна (ФГ). Спектральний розклад для ФГ. ФГ вільних електронів. Випадок сферично-симетричного потенціалу. Сферичні (та кубічні) гармоніки. Радіальне рівняння та його розв’язки у випадку нульового потенціалу (функції Бесселя, Неймана, Ганкеля та їх асимптоти). Розклад пласкої хвилі та ФГ для вільного електрона по сферичних гармоніках. Регулярна та сингулярна частини ФГ. Проекційний оператор та його властивості.

    Тема 8. Розсіювання на ізольованому потенціалі (на одній домішці). Фазовий зсув. Різні нормування хвильової функції. Логарифмічна похідна від радіальної функції та її зв’язок з енергією резонансу (енергією сингулярності у виразі для тангенса фазового зсуву). Розсіювання на потенціалі абсолютно твердої сфери та сингулярність в логарифмічній похідній. Дискретні та квазідискретні рівні. Час життя електрона на квазідискретному рівні. Умова існування зв’язаного стану. Парціальна амплітуда розсіювання. Теорема Левінсона. Час затримки при розсіюванні. Схема утворення квазідискретного рівня. Правило сум Фріделя. Фріделівські осциляції густини заряду та ефекти екранування й інтерференції (залежність від імпульсу Фермі). «Втягування» хвильової функції електрона в область потенціальної ями. Періодичність певних фізичних властивостей кристалів, утворених різними елементами таблиці Менделєєва. Умова на кількість зв’язаних станів.

    Тема 9. Зв’язок між теорією розсіювання та теорією збурень. Борнівський ряд теорії збурень. Перше борнівське наближення та перший порядок теорії збурень. Теорема Остіні-Хейне-Шема. Амплітуда розсіювання та t-матриця.

    Тема 10. Канонічні перетворення, квазічастинки. Одно- та двочастинкова ФГ. Власна енергія квазічастинки. Квантовомеханічні запізнювальна та випереджаюча ФГ (амплітуда густини ймовірності). Фур’є-трансформанта ФГ. Зв’язок полюсів одночастинкової ФГ з енергіями основного стану взаємодіючих частинок (вихідної системи) та збуджених станів (системи з однією доданою частинкою). ФГ квазічастинок (перенормування енергії, скінчений час життя, умова на останній). Рівняння Дайсона та масовий оператор. Що визначають уявна та дійсна частини масового оператора? Добре визначені квазічастинки.

    Тема 11. Представлення вторинного квантування. Фермі-вакуум. Оператори народження та знищення й їх власні значення. Частинки та дірки. Представлення довільного оператора в представленні чисел заповнення (вторинного квантування). Матричні елементи операторів взаємодії з зовнішнім полем та парної взаємодії між частинками, їх діаграмні представлення. Віртуальні процеси розсіювання та закони збереження імпульсу й енергії взаємодіючих частинок, що описуються окремими діаграмами Фейнмана. Розсіювання вперед та обмінне розсіювання. Правила обрахунку діаграм (підсумовування та інтегрування по проміжним імпульсам та часу). Діаграми для Фур’є-трансформант. Енергетичний параметр. Власно-енергетичні діаграми. «Голі» частинки та квазічастинки.

    Тема 12. Квазічастинки в наближеннях Хартрі та Хартрі-Фока, їх масові оператори та часи життя. Самоузгоджені розрахунки. Квазічастинки в електронному газі в наближеннях Хартрі-Фока та випадкових фаз (НВФ). Ефективна маса квазічастинок. Врахування кореляцій (вихід за рамки наближення Хартрі-Фока) та ефекти екранування (в НВФ). Ефективна маса «одягненої у шубу» квазічастинки. Вакуумна амплітуда та енергія основного стану. Діаграми поляризації вакууму. Роль різних елементів квантової теорії поля в задачах багатьох тіл (що вони дозволяють розрахувати).

    Тема 13. Запис ФГ через оператори народження та знищення. Оператор упорядкування по часу. Природа ваги квазічастинкового стану. Спектральна функція та її зв’язок з аналітичними властивостями ФГ та з густиною електронних станів. Границі застосовності квазічастинкового підходу. Еквівалентність діаграмного методу та методу канонічного перетворення (на прикладі хартрієвської моделі). Чому квазічастинок має бути значно менше, ніж реальних частинок та як це пов’язано з поверхнею Фермі? Залежність часу життя від енергії квазічастинки над Фермі-вакуумом. Власно-енергетична та незвідна власно-енергетична частини (діаграми). Масовий оператор, як повна незвідна власно-енергетична частина. Рівняння Дайсона для систем різної складності взаємодії (де місце систем з сильними електронними кореляціями (СЕК) на діаграмі, що класифікує електронний газ за густиною?). Самоузгоджена теорія збурень. Існування квазічастинок, як ознака застосовності теорії збурень. Вага квазічастинкового стану (лишок у полюсі) та існування поверхні Фермі і ефективна маса квазічастинки.

    Тема 14. Пряма обмінна взаємодія (модель Гейзенберга для цілком локалізованих магнітних моментів, феромагнітне та антиферомагнітне упорядкування). Надобмін (через немагнітного сусіда). Опосередкована взаємодія через електрони провідності (ефект Рудермана-Кіттеля — аналогія з осциляціями Фріделя). Ефекти кореляції, як багаточастинкові ефекти. Кулонівська взаємодія та поява локалізованих магнітних моментів. Слабка взаємодія та магнетизм делокалізованих (вільних) електронів. Випадки зведення багаточастинкових задач до одночастинкових. Модель Хаббарда. Фазова діаграма систем з СЕК в моделі Хаббарда. Хаббардові підзони на густині електронних станів. Перехід Мотта метал-діелектрик (поява енергетичної щілини). Інші варіанти появи переходів метал-діелектрик.

    Тема 15.  Надпровідність як колективне явище в системах з СЕК. Ефект Кондо (розсіювання на магнітній домішці, як варіант задачі про розсіювання на немагнітній домішці з появою квазічастинкового піку поблизу рівня Фермі через «залипання електронів»), системи з важкими ферміонами (важлива роль спінових флуктуацій) та системи з проміжною валентністю (додаються флуктуації зарядової густини).

  • Навчальні матеріали та ресурси

    1. L. I. Yatrebov, A. A. Katsnelson. Foundations Of One Electron Theory Of Solids. Mir Publishers, 1987. (https://archive.org/details/yatrebov-katsnelson-foundations-of-one-electron-theory-of-solids/mode/2up)

    2. Richard D. Mattuck. A Guide to Feynman Diagrams in the Many-body Problem (Sec. Ed.). Dover Publications Inc., New Yourk, 1992.

    3. Vladimir Anisimov, Yuri Izyumov. Electronic Structure of Strongly Correlated Materials. Springer Series in Solid-State Sciences, 163, 2010.